الجبر الخطي

.

[أولا]

إذًا المقصود بالـ vector space هو :

أن A هو vector space بشرط تحقق العشرة شروط المذكورة تحت عمليتي الجمع والضرب القياسي ، والشروط هي :

1/ حاصل جمع متجهين يكون متجه . وهذه الخاصية تسمى (closed under addition)

2/ عملية جمع المتجهات هي عملية إبدالية . (commutative)

3/ عملية جمع المتجهات هي عملية تجميعية . (associative)

بمعنى إذا جمعنا المتجه A مع B وحاصل الجمع جمعناه مع المتجه C .. سيكون مساوي للعملية التالية : جمع المتجه B مع C ، وحاصل الجمع نجمعه مع المتجه A .

4/ هناك متجه صفري 0 ، بحيث إذا جمعت أي متجه (وليكن A) مع المتجه الصفري 0 .. فإن الناتج سيكون هو المتجه A.

(zero vector)

5/ كل متجه (وليكن B) له معكوس جمعي (- B) ، بحيث إذا جمعنا المتجه مع معكوسه فإن النتيجة تكون المتجه الصفري . (additive inverse)

6/ حاصل ضرب متجه بعدد حقيقي هو متجه . (closed under scalar multiplication)

7/ حاصل جمع عددين حقيقيين (وليكن r+s) ومن ثم ضربهم في المتجه (وليكن A) يكون مساويا لـ حاصل جمع مضروب كل عدد في المتجه (r.A+s.A) .

8/ حاصل ضرب عدد حقيقي (وليكن r) في مجموع متجهين (وليكن A+B) يكون مساويا لـ حاصل جمع مضروب كل متجه بالعدد (rA+rB) .

9/ حاصل ضرب عددين (rs) ومن ثم ضربهم بمتجه A يُساوي حاصل ضرب عدد بمتجه rA ومن ثم ضرب الناتج بالعدد الآخر s .

10/ حاصل ضرب العدد الحقيقي واحد (1) بأي متجه هو المتجه نفسه .

.

نلاحظ أن الخمسة الشروط الأولى مختصة بعملية الجمع ، وأما الخمسة الشروط الأخيرة تختص بعملية الضرب القياسي (أي ضرب عدد بمتجه) ..

هنا شرح رائع للمتجهات والشروط العشرة ، تبدأ الجزئية من 00:07:40

وهنا توضيح أكبر للشروط العشرة ، تبدأ جزئية شرح الشروط من 00:02:02 إلى 00:03:46

.

.

كيف أعرف أن مجموعة معينة تعتبر vector space ؟

علينا تطبيق الـ10 شروط جميعها ، فإذا تحققت أصبحت vector وإلا فلا .

.

.

مثال على ذلك :

نبدأ الآن بالتحقق من الشروط العشرة :

وبهذا تمّ التأكد من الشروط الخمسة المختصة بعملية الجمع . والآن نبدأ بالشروط الخاصة بالضرب القياسي :

والآن الشرطان الأخيران ..

تجدون مثالا آخر في الفيديو السابق في :

00:06:23

.

.

مجموعات تُعتبر vector space وتُحقق الشروط العشرة :

الأعداد الحقيقية – الأعداد المركبة – المصفوفات من الرتبة 2×2 – الأعداد النسبية … وغيرهم

مجموعة لا تُعتبر vector space :

الأعداد الطبيعية ؛ لعدم وجود المعكوس الجمعي ….

.

.

.

.

[ثانيًا]

إذًا المقصود بالـ subspace أنها مجموعة جزئية من الـ vector space وتُعتبر vector space في نفسها تحت عمليتي الجمع والضرب القياسي.

.

.

كيف أعرف أن ما أمامي هو subspace ؟

عن طريق التركيبات الخطية linear combinations والتي بدورها تُحقق خاصيتي الـ closed .

في هذا المقطع توضيح للمقصود بالتركيبات الخطية ، الجزئية من بداية المقطع وحتى 00:07:55

.

.

أمثلة على ذلك ..

وهنا مثالين آخرين من أحد المواقع :

هنا شرح أكثر للـ subspace مع مثالين

.

.

.

[ثالثًا]

.

.

بمعنى أن الـ spanning set تتشكل من جميع التركيبات الخطية الممكنة والتي تحقق الـ vector space ..

.

.

كيف أقدر أجيب الـ spanning لأي متجه؟

عن طريق ضرب جميع مركبات المتجه بعدد ثابت ومساواتها بأي متغيرات (ولتكن x,y) ، ولتوضيح ذلك سنآخذ عدة أمثلة ..

.

.

هنا مثال آخر ، من بداية المقطع وحتى 00:12:14

وهنا شرح رائع وبالتفصيل مع مثال لمفهوم الـ spanning .

.

.

[رابعا]

المتجه يُعتبر مستقلًا خطيا (linearly independent) في حالة عدم قدرتنا على كتابة أحد عناصره بدلالة الآخر ، وإن استطعنا كتابة أحد عناصره بدلالة الآخر فيُعتبر مرتبطا خطيا (linearly dependent).

.

.

كيف أعرف أن المتجه مستقلا خطيا أو لا؟

عن طريق ضرب كل عنصر من عناصره بثابت إختياري وليكن (c) ومن ثم جمعهم ومساواتهم بالصفر .. فإذا كانت جميع الثوابت الاختيارية تساوي الصفر فهي مستقلة خطيا ..

وإذا كان أحد تلك الثوابت غير الصفر فهي مرتبطة خطيا ، وهنا بعض الأمثلة للتوضيح ..

.

.

.

وهنا مثال آخر من نفس المرجع :

.

مقاطع مفيدة تُوضح الاستقلال الخطي :

(1)

شرح لمفهوم الاستقلال ، مع مثال بالتفصيل الممل ..

(2)

نفس صاحب المقطع السابق يشرح المثال الآخر ..

(3)

هذا المقطع يوضح 6 نقاط تجعلك تعرف إذا كان المتجه مستقل خطيا أو لا .. جميل جدًا ..!

.

.

.

[خامسًا]

أي أن الأساس لأي متجه هي المتسلسلة التي تكوّن مجموعة مستقلة خطيا وتكون مولدة للـspace..

.

.

كيف أتحقق من أن المجموعة التي أمامي هي أساس للمتجه؟

1/ إثبات أنها مستقلة خطيًا ..

2/ إثبات إنها spanning set ..

كما في هذا المثال ..

.

.

.

.

كيف أوجد الأساس في نظام المعادلات الخطية؟

أتمنى أن يُجيب المثال التالي على هذا التساؤل..!

.

.

هنا مقطع يوضح مفهوم الأساس ، ويُعطي أمثلة على ذلك ..

.

.

[سادسًا]

أي أن بُعد الـ vector space هو عدد المتجهات في أيّ من أساساتها !

.

.

كيف أعرف البعد dimension لأي متجه أمامي ؟

1/ إيجاد الأساس basis

2/ حساب عدد العناصر وهو يساوي عدد أبعاد المتجه .

.

.

مثلا :

المجموعة R2 عدد أبعادها هو 2

المجموعة R6 عدد أبعادها هو 6

بشكل عام مجموعة الأعداد Rn عدد أبعادها هو n

أما فيما يخص كثيرات الحدود فنُضيف واحد على درجتها ، مثلا

كثيرة الحدود P3 عدد أبعادها هو 4

كثيرة الحدود P9 عدد أبعادها هو 10

وبشكل عام فإن كثيرة الحدود Pn عدد أبعادها هو n+1

.

.

بعض المقاطع الموضِّحة لمفهوم البعد dimension ..

(1)

(2)

.