شرح بالتفصيل لحل معادلة الدرجة الثالثة والرابعة لمتغير واحد

طريقة الحل

المــعادلة العامة للدرجة الثالثة هي . .:

والتي يمكن اختزالها إلى المعادلة

بتعويض على الشكل () حيث يمكن إيجاد أن
نقوم الآن باستبدال آخر وهو ( x=u-v) ، وسنحصل على المعادلة :

والتي يمكن وضعها على الشكل التالي :

يمكننا أن نلاحظ أنه الطرف الأيسر يساوي الصفر إذا كان

و

من المعادلة الأولى يمكن أن نصل إلى أن

وبالتعويض في المعادلة الثانية نحصل على :

والتي يمكن وضعها على الصورة

المعادلة الأخيرة تمثل معادلة تربيعية في () ، والتي يمكن حلها بسهولة بقانون المعادلات التربيعية :

وبالتعويض ، نوجد v :

لذا :

ويمكن الحصول على الحلول الأخرى بالقسمة على ( ) .
ملاحظة : يمكن اختصار الطريقة ، بتعويض على الشكل :
بعد القسمة على ( ) والمزيد من العمليات الجبرية نحصل على الصيغة العامة للحلول لأي معادلة :

مميز المعادلة التكعيبية
بالنظر إلى المعادلات السابقة يمكننا تعريف المميز بالشكل :
إذا كان المميز موجباً فالمعادلة له حل حقيقي وحلان مركبان مترافقان
إذا كان المميز سالباً فلها ثلاثة حلول حقيقية مختلفة
إذا كان المميز صفراً ، فلها حل حقيقي ثلاثي ، أو حلان : أحدهما مكرر


==================

شرح أخر :


يمكن معرفة نوع الجذور من خلال مميز شبيه بمميز المعادلات من الدرجة الثانية

لتكن المعادلة :

ax3 + bx2 + cx + d = 0

حيث المعاملات أعداد حقيقية

المميز :



و يمكن استنتاج الحالات التالية :

Δ < 0 : المعادلة لها 3 جذور حقيقية مختلفة

Δ > 0: المعادلة لها جذر حقيقي واحد و جذران مترافقان من الاعداد المركبة

Δ = 0 : هنا على الأقل جذران يتطابقان ، يعني من الممكن أن يكون للمعادلة

جذران حقيقيان متساويان و آخر حقيقي مختلف عنهما أو ان يكون للمعادلة

3 جذور متساوية

أما بالنسبة للحل فأشهر طريقة هي طريقة كاردانو الرياضي الايطالي ( 1501 - 1576 ) :



باستخدام التعويض : t = x - a/3

نتخلص من x2 :



لنفرض أن بمقدورنا إيجاد الأعداد u و v بشرط :



عندها يكون حل المعادلة : t = v - u

يمكن التحقق من ذلك بتعويض t مباشرة في (2) أعلاه :



الآن لإيجاد حل (3) : نوجد v بالنسبة لـ u :



نعوضها في الاخرى :



و يمكن حل الاخيرة هذه كمعادلة تربيعية في u3:



الآن : t = v - u و t = x - a/3

ينتج عن ذلك :




===============

الدرجة الرابعة

للعالم فراري

الصورة العامة لمعادلة الدرجة الرابعة هي :

ويمكننا اختزالها إلى المعادلة

باستبدال مشابه لما تم عرضه في طريقة كاردانو ، وهو في هذه الحالة : ؟
فكرة الحل تعتمد على تحويل المعادلة إلى فرق بين مربعين يمكن تحليله ، وبالتالي الحصول على معادلتين من الدرجة الثانية يمكن حلها بسهولة ، ولإجراء ذلك نقوم بإضافة وطرح حدين .. على الشكل :

حيث (u) ثابت يمكن إيجاد قيمته لكي تصبح المعادلة على صورة فرق بين مربعين ، وبإعادة ترتيب الحدود :

لكي يكون القوس الثاني يمثل مربعاً كاملاً ، يجب أن تتحقق العلاقة التالية:

وبعد التربيع وفك الأقواس نحصل على المعادلة :

وهذه هي معادلة تكعيبية في (u) يمكن حلها باستخدام طريقة كاردانو ، وإيجاد قيمة (u) ،
بعد ذلك نقوم بالتحليل :

حصلنا على معادلتين تربيعيتين نقوم بحلهما باستخدام قانون المعادلة التربيعية .


===========

طبعا كلها تحتاج لخطوات اكثر وفي النهاية

وبعد هذه وتلك هذا هو القانون العام وبطريقة مباشرة وبدون اختزال









المحاولة القادمة هي حل معادلة من الدرجة الخامسة بمتغير واحد

كاتب البحث

الاستاذ/ سعود النفيعي