المتتاليات والمتسلسلات

حل معادلات

كتاب الرياضيات

شرح بالتفصيل لحل معادلة الدرجة الثالثة والرابعة لمتغير واحد

طريقة الحل

المــعادلة العامة للدرجة الثالثة هي . .:

والتي يمكن اختزالها إلى المعادلة

بتعويض على الشكل () حيث يمكن إيجاد أن
نقوم الآن باستبدال آخر وهو ( x=u-v) ، وسنحصل على المعادلة :

والتي يمكن وضعها على الشكل التالي :

يمكننا أن نلاحظ أنه الطرف الأيسر يساوي الصفر إذا كان

و

من المعادلة الأولى يمكن أن نصل إلى أن

وبالتعويض في المعادلة الثانية نحصل على :

والتي يمكن وضعها على الصورة

المعادلة الأخيرة تمثل معادلة تربيعية في () ، والتي يمكن حلها بسهولة بقانون المعادلات التربيعية :

وبالتعويض ، نوجد v :

لذا :

ويمكن الحصول على الحلول الأخرى بالقسمة على ( ) .
ملاحظة : يمكن اختصار الطريقة ، بتعويض على الشكل :
بعد القسمة على ( ) والمزيد من العمليات الجبرية نحصل على الصيغة العامة للحلول لأي معادلة :

مميز المعادلة التكعيبية
بالنظر إلى المعادلات السابقة يمكننا تعريف المميز بالشكل :
إذا كان المميز موجباً فالمعادلة له حل حقيقي وحلان مركبان مترافقان
إذا كان المميز سالباً فلها ثلاثة حلول حقيقية مختلفة
إذا كان المميز صفراً ، فلها حل حقيقي ثلاثي ، أو حلان : أحدهما مكرر


==================

شرح أخر :


يمكن معرفة نوع الجذور من خلال مميز شبيه بمميز المعادلات من الدرجة الثانية

لتكن المعادلة :

ax3 + bx2 + cx + d = 0

حيث المعاملات أعداد حقيقية

المميز :



و يمكن استنتاج الحالات التالية :

Δ < 0 : المعادلة لها 3 جذور حقيقية مختلفة

Δ > 0: المعادلة لها جذر حقيقي واحد و جذران مترافقان من الاعداد المركبة

Δ = 0 : هنا على الأقل جذران يتطابقان ، يعني من الممكن أن يكون للمعادلة

جذران حقيقيان متساويان و آخر حقيقي مختلف عنهما أو ان يكون للمعادلة

3 جذور متساوية

أما بالنسبة للحل فأشهر طريقة هي طريقة كاردانو الرياضي الايطالي ( 1501 - 1576 ) :



باستخدام التعويض : t = x - a/3

نتخلص من x2 :



لنفرض أن بمقدورنا إيجاد الأعداد u و v بشرط :



عندها يكون حل المعادلة : t = v - u

يمكن التحقق من ذلك بتعويض t مباشرة في (2) أعلاه :



الآن لإيجاد حل (3) : نوجد v بالنسبة لـ u :



نعوضها في الاخرى :



و يمكن حل الاخيرة هذه كمعادلة تربيعية في u3:



الآن : t = v - u و t = x - a/3

ينتج عن ذلك :




===============

الدرجة الرابعة

للعالم فراري

الصورة العامة لمعادلة الدرجة الرابعة هي :

ويمكننا اختزالها إلى المعادلة

باستبدال مشابه لما تم عرضه في طريقة كاردانو ، وهو في هذه الحالة : ؟
فكرة الحل تعتمد على تحويل المعادلة إلى فرق بين مربعين يمكن تحليله ، وبالتالي الحصول على معادلتين من الدرجة الثانية يمكن حلها بسهولة ، ولإجراء ذلك نقوم بإضافة وطرح حدين .. على الشكل :

حيث (u) ثابت يمكن إيجاد قيمته لكي تصبح المعادلة على صورة فرق بين مربعين ، وبإعادة ترتيب الحدود :

لكي يكون القوس الثاني يمثل مربعاً كاملاً ، يجب أن تتحقق العلاقة التالية:

وبعد التربيع وفك الأقواس نحصل على المعادلة :

وهذه هي معادلة تكعيبية في (u) يمكن حلها باستخدام طريقة كاردانو ، وإيجاد قيمة (u) ،
بعد ذلك نقوم بالتحليل :

حصلنا على معادلتين تربيعيتين نقوم بحلهما باستخدام قانون المعادلة التربيعية .


===========

طبعا كلها تحتاج لخطوات اكثر وفي النهاية

وبعد هذه وتلك هذا هو القانون العام وبطريقة مباشرة وبدون اختزال









المحاولة القادمة هي حل معادلة من الدرجة الخامسة بمتغير واحد

كاتب البحث

الاستاذ/ سعود النفيعي

العمليات الجبرية و ضرب المقادير الجبرية

اناشيد

العاب رياضيه 1

http://www.hawanaajd.com/gm/img389.htm

اللعبه الثانيه 

مثلث

عدد اللاعبين : 2

قواعد اللعبة :
1- يرمي اللاعب الأول حجري النرد .
2- يجمع العددين ويغطي أي رقم يقبل القسمة على الناتج .
3- أول لاعب يغطي أربع مثلثات ليكون مثلث كبير يكون الفائز .

 

اللعبه الثالثه

مضاعفات

عدد اللاعبين : 2

قواعد اللعبة :
1- يرمي اللاعب حجري النرد .
2- يجمع العددين ويغطي أي عدد في الشبكة التي في الأسفل بحيث يكون أحد مضاعفات ناتج الجمع .
3- أول لاعب يكون خط مستقيم من ثلاث فيش يكون الفائز .
مثال : إذا رميت 6 و 2 يمكن أن تغطي أحد الأعداد 8 , 16 , 24 , .....

 

اللعبه الرابعه 

معاملات
عدد اللاعبين : 2

تحتاج حجر نرد لكل لاعب و 25 فيشة لكل لاعب

قواعد اللعبة :

1- يرمي كل لاعب حجر النرد الخاص به في نفس الوقت والذي يحصل على رقم أكبر يبدأ .
2- يمكن للاعب أن يغطي 4 أعداد في الشبكة تكون معاملات للعدد الظاهر على حجر النرد الخاص به .
3- اللاعب الذي ينهي 25 فيشة يكون الفائز .

مثال : إذا كان العدد الأكبر هو 3 يمكن أن يغطي اللاعب 4 أعداد من التالي :
3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 27 , .........

اللعبه الخامسه

خلايا الضرب

عدد اللاعبين : 2

تحتاج الىمجموعة فيش حمراء وصفراء

قواعد اللعبة :

يختار اللاعب الأول رقمين من المستطيل ( أو الرقم مع نفسة ) ويضربهما ذهنياً

أما اللاعب الآخر يتأكد من صحة الإجابة باستخدام الآلة الحاسبة

إذا كانت الإجابة صحيحة يمكن للاعب الأول أن يغطي الرقم بفيشته

الفائز من يصل بين الجهتين الخاصه به بطريق متصل

 

اللعبه السادسه

اصنع آلة حاسبة( عظام نايبل)

اقطع الشكل في المرفق الأول .

سميت نايبل بونز نسبة الى مخترعها جون نايبل ( 1550 – 1617 ) .

واستخدمت في الآلات الحاسبة لحوالي 200 سنة .


طريقة استخدامها :
المثال في المرفق الثاني

لإيجاد ناتج 3641 × 4

ضع أرقام العدد 3641 بالقرب من بعضها ثم إنزل لأسفل لتصل السطر الرابع

مكونات العدد الناتج ستكون جمع الاعداد قطريا في السطر الرابع :
4 , 0 + 6 , 4+1 , 2+ 2 , 1
إذن : 3641 × 4 = 14564

إذا كان ناتج الجمع أكبر من تسعة تحمل العشرات للقطر الذي يليه

بإستخدام عظام نايبل أوجد ناتج ما يلي :

462 × 3 =

685 × 6 =

739 × 3 =

958× 7 =

719 × 8 =

2538 × 7 =

1538 × 5 =

5382 × 4 =